AP微積分備考指南

 

AP微積分的魅力還是其內容本身，作為一門要求高中生在進入大學之前完成的預修科目來說，它很好得在知識廣度與知識深度之間做到了平衡。

在知識結構和邏輯上AP的微積分和我們國內高校的微積分體系相似度是最高的；其次AP微積分在對知識深度的把控上也是比較到位的，大部分題目的考察深度都不會很大，使得大家能順利學到微積分的重要思想與一些應用場景。以下是邀請犀牛宋老師針對AP微積分特點進行疫情下的備考策略分析。

 

 

 

 

No.1

7天復習重點

 

首先講一下宏觀的一些學習方法與建議。

考前抓住三基，基本知識、基本技能、基本方法：大家在平時的學習中可以適當拓展補充一些有用的技巧和知識點，但是大考前還是要以基礎為主，AP是給全球的美高體系學生考的，不至于為了針對中國學生把難度一下子拉高（雖然這幾年是有微微提高的趨勢，由此可見老外也在卷）。

 

認真對待真題：任何考試不管是體制內的中高考（不少人應該聽到過五年高考三年模擬這個詞），AP考試，IB考試，考前都要吃透真題，因為真題充分體現(xiàn)了命題組對大綱的把握對課程目標的理解，因此大家不僅要多做真題，也要學會整理錯題舉一反三，甚至二刷三刷。

 

注重計算：可以看到整張試卷非計算器部分的分值占比是遠高于計算器部分的，而且在15個calculator allowed的選擇題中有幾個題目依舊需要大家手動計算。眼睛看會不代表你真的會做，很多同學都有這樣的習慣，動筆計算會讓很多自己以為沒問題的地方暴露出漏洞，考前發(fā)現(xiàn)不足都不是壞事，切莫因為計算問題讓自己再來一年。

 

 

 

No.2

考型與考點分析

首先簡單看下考試題目的構成與數量以及每個部分規(guī)定的考試時間：

 

 

 

要注意這個規(guī)格是17年之后到現(xiàn)在，16年及之前是28+17的選擇題結構。

 

1：選擇題，非計算器部分

 

 

一道長著級數求和的樣子的題，本質考的是大家在Precal階段就學過的無窮等比數列的和。重點在于搞清楚第一項和公比分別是多少。

 

 

 

考察湊微分和基本積分公式的理解，當然很多學校會只講substitution的方法，都可以。

 

 

 

考察變限積分(integral with variable upper limit)和復合函數求導(the chain rule)的綜合運用。

 

 

 

綜合考察大家對極限和定積分定義的理解。

 

 

本題是AP考試中非常經典的級數審斂題目，給的級數都非常簡單，主要考生看是否對定義和基本方法掌握到位。

 

 

綜合考察運用直接法將復合函數展開成Maclaurin級數的技巧，這道題推薦用直接法，用間接法需要一定的技巧。

2：選擇題，計算器部分

 

 

考察對弧長公式的運用，要注意普通形式，參數方程形式，極坐標形式三種形態(tài)下的弧長公式都要會。

 

 

考察運動學的知識，也就是微積分在物理中的應用，重點在于區(qū)分displacement和t.d.t.的區(qū)別，以及各自的公式。

 

 

經典的計算器部分的題目但計算器卻沒什么幫助的場合。這道題考的是抽象級數，因此要求考生充分理解各種級數審斂法的特征和應用前提。當然善于舉反例也是可以的。

3：簡答題，計算器部分

 

 

計算器部分的大題，綜合考察參數方程的基本概念，參數方程的導數，向量的模，導數的應用（optimization相關）。

4：簡答題，非計算器部分

 

 

經典的分段圖形結合變上限積分函數的綜合大題，a問考察定積分的定義和幾何意義，b問考察最值的概念注意和極值做出區(qū)分，最值不需要用test，c問考察拐點的概念。

需要注意的是AP當中會經?？疾鞂挡淮嬖诘那闆r下，極值和拐點(inflection points)問題，大家要注意梳理和歸納。

21年最新的大題，看著唬人，但是難度實際上不高，按照題目要求按部就班即可。a問考察了學生對積分審斂法前提條件的理解，不少學生都會做積分但是不知道這個前提條件是什么。

 

如果在平時學習的時候知道積分審斂法的證明過程那么在面對這個問題時就非常得心應手，d問需要注意交錯級數(alternating series)的error bound和positive series中用Lagrange Remainder求error bound方法有所不同，這也是17年之后新加的一個考點。

 

 

No.3

7天沖刺策略

關于在學習當中的側重點把握，這里我簡要說明一下，針對一元函數微積分學（也就是大家AP的考試內容）的一些學習備考策略。

 

極限與連續(xù)：這個部分AP是講得比較完整的，在考試當中會考概念和計算。直接考察的比例不高，但是間接考察的題目不少。而且大家要記住很重要的一句話，極限是整個微積分的基礎。有了極限的定義（將來大家會接觸到的語言）及其相關性質，才有后面的導數，不定積分，定積分，級數斂散性等諸多概念。因此大家在這部分學習和備考的時候除了會做題盡量要去理解和感悟其中的思想，這對掌握微積分有非常大的幫助。

 

導數與微分：求導也是大家在微積分學科中真正第一次接觸全新的內容（因為在Precalculus的一些內容中會提前接觸極限的思想）這一部分的重點是幾個求導法則尤其是The Chain Rule，它直接關系到后續(xù)相關變化率(related rate of change)，隱函數求導(derivative of implicit functions)，分部積分(integration by part)等有關內容的學習。不管是基礎班還是強化班沖刺班我們都會反復提及這個事情。無論是簡單復合還是復雜的復合函數都要能做到準確求導。有關微分的應用，推薦大家記住一下幾個有用的例子。

 

 

 

思考這幾個函數在0處分別具有什么性質。就能加深對一階導數二階導數應用相關內容的理解。

 

積分與微分方程：這一部分內容大家在上手初期會覺得很難理解，實際上AP的積分考察一般不會很深奧（隔壁IB考的題目雖難但是也都有提示），建議大家首先要把導數公式記熟，這個熟練不是你會默寫的熟練而是要做到你能從各種積分式子中迅速找到對應的基礎公式模型。

 

 

 

 

私以為，不定積分是這一部分核心中的核心，拋開計算器部分，你會寫原函數你才能用FTC去算定積分（包括improper integral），才能去解決后面的各種應用問題。變量可分離微分方程的本質也是求不定積分。所以大家在這一塊下點功夫肯定是有好處的。

 

無窮級數：（AB的同學可以直接跳過）對于BC的同學來說這一部分內容會稍微有點難度，主要是形式上比較抽象而且一些思維和前面的內容會有所差異，大家在備考和學習的時候可以根據自己的能力與時間分配精力?？偟膩碚f考試中出現(xiàn)需要大家審斂的級數都是比較基礎的，再不濟ratio test, limit comparison test, integral test挨個試一下總能有結果的。有關Maclaurin Series，大家記住AP考試中依舊是考察比較基礎的應用，這里推薦大家掌握一些簡單的間接法展開技巧（替換原則），對做題有很大幫助。

 

有關參數方程與極坐標：BC的同學在這一部分需要注意的是，考試中不會要求你們記住極坐標中曲線的解析式，比如擺線，螺線，心形線等，也不會直接考察大家參數方程消參的技巧。理解如何求極坐標曲線的導數，如何確定極坐標形式下的積分限是更重要的（當然這里涉及到一些三角的知識，希望大家在Precal中不要欠下太多的債）。當然也非常建議大家有能力話的系統(tǒng)性學習一下極坐標與參數方程的相關理論，對理解題目有很大的幫助。

 

 

 

No.4

疫情下的應對政策

感謝宋樂陽老師對于AP微積分備考的精彩解析！

 

 

宋老師還用自己的學習與教學經驗提醒同學們：“微積分是一門通往高等領域的研究工具，概率論的完善，數理統(tǒng)計的建立，物理當中相關公式的推導，金融當中的各種投資計算，量化風險等等均是基于微積分理論。所以學好這門課不僅僅是為了一個5分，還是為了你將來的學術道路能夠走的順利。”

 

“截止我寫稿的這一刻，上海地區(qū)和上海周邊的一些地區(qū)考試都取消了，預測CB是不會單獨為了部分考生采用線上考試，后面在五月下旬會有一個late testing，那么很有可能會采用推遲考試的形式。我們分別考慮一下相關可能性，如果今年徹底取消，那么沒有AP成績肯定是需要別的考試或者相關標化來補充基本競爭力的。如果是late testing，那么該來的還是要來的，同時注意到大家的復習時間都變長了，在劃5分線的時候不排除水漲船高的可能性。當然以上分析并不是要制造焦慮，我想說的是仍舊應該保持正常學習備考狀態(tài)，以平穩(wěn)的心態(tài)應對疫情帶來的不確定性。既不要趁機擺爛，也不必感到著急。”

 

認真上好現(xiàn)在的網課，當你想著躺平，也許你的同僚依舊在認真學習，等到隔離結束， 你可能會發(fā)現(xiàn)和別的人差距突然擴大了許多。

 

從另一個角度來說，排除一些同學申請藝術，純文科等進入大學后不會再接觸數學的專業(yè)，大部分同學在大學階段的前幾年，還是要和數學打交道的。不管是概率論還是理工科必修的cal3，在AP階段打好基礎對自己只有好處沒有壞處，所以保持長遠的目光，未雨綢繆。學到的知識永遠是自己的財富，千萬不要覺得學習是吃虧。

 

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