單向遞歸是指每一項僅與前一項有關；雙向遞歸是指每一項與前一項以及下一項有關。我們先看二階以及三階的遞推式解的問題，分為兩類：帶常數項與不帶常數項的，即：
注意，兩階的遞推，需要知道2個初始值；三階的遞推則需要3個初始值。
用特征方程求解的數列（里面不帶常數項），又叫差分數列，AIME會考察的是二階差分和三階差分；在連續(xù)函數中，對應的是常微分方程。帶常數項的，需要先進行換元，然后轉化為差分數列即可。在下文數列的專項中，我們會再提一下。
在AMC中也會考察有限項的雙向遞歸，有限的雙向遞歸，一般會列出N元一次方程，然后求解方程即可。比如如下的這道經典的青蛙題：
關于這道題的完整解析也可以加下方犀牛的微信號然后向我索取完整版的解析，這里我們不再贅述，AMC考察的有限項的雙向遞推。AIME也會考察類似的題目，再難一點的題目，則考察無限項的遞歸。我們先看一道去年AIME-I卷-12題：（AOPS的解析比較繁瑣，沒有抓住有限元的雙向遞歸的本質。）
答案為：
即：16+3=19.
我們看一道相對復雜一點的題目：
AOPS里給出的解析是：
Iteratively…會讓很多同學一口鮮血噴在電腦屏幕上，提供解析的這位同學還是沒有弄好帶常數項的雙遞推數列如何去做。這道題還是典型的“構造型的等差數列”（注意，當你求出來公比是1的時候，這個數列就是等差數列了，我們可以認為等差數列是一種特殊的差分數列，即公比為1）。另外就是三階差分數列，需要知道三個初始條件，這道題的a1和a0之間的一個特殊值，所以可以求出來。另外這道題因為求第23項，而且遞推式已經求出來，就沒必要求通項公式了。
總之，做好遞歸題目，還是先學會數列的各種解法。
數列題，分為單遞推，以及雙遞推，對于單遞推來說，用的方法有：
① 差分數列（帶常數項與不帶常數項）：特征值方程法；
② 構造型等差數列或等比數列：待定系數法；
③ 三角換元法：tan(α+β)，sin(α+β)，tan(π/4+α)；
④ 周期數列法：帶絕對值的數列、tan(π/4+α)、tan(π/6+α)寫前6項
⑤ 裂項法（裂項相加然后相消）；
⑥ 等差與等比的混合數列求和（乘以公比，錯位相減）
雙遞推數列的求法：
① 大部分的雙遞推需要消掉bn，然后變?yōu)閱芜f推；
② 如果消不掉，則根據方程組思想來求解（參考點撥二里面的方程組求法）。
在AIME中，比較難的數列題，一共18道，歸納如下：
時間有限，無法講解每道題，如果需要講解的同學，請聯系客服，進行PPT和相應的視頻索取，也歡迎大家有更多的討論。
