AMC 10&12 已經(jīng)落下了帷幕，通過AIME成功進入美國國家隊，征戰(zhàn)IMO，走向人生巔峰的機會又來了！誒等等，我們好像是中國內(nèi)地的，美國國家隊不收……無論如何，都進了AIME，至少還是要去考一下的。這幾期的公眾號，我們（/我自己）就來為AIME作一些準備~

在這一期中，我們主要來介紹AIME的特點，并熟悉真正的考試形式。

AIME，全稱American Invitational Mathematics Examination（美國高中邀請賽），是一個較為高層次的比賽，在AMC中獲得優(yōu)異的成績才可獲取參賽資格，分數(shù)直接與能否進“營”（即參加USAMO）掛鉤。簡單來說，就是這樣：

我們中國學生參加AIME，需要注意與我們平時考試不同的小細節(jié)。

一、正式考試時間有3小時，題目由15道填空題組成，每題的答案都是一個000~999中的自然數(shù)。官方規(guī)則如下：

1. This is a 15-question, 3-hour examination. All answers are integers ranging from 000 to 999, inclusive. Your score will be the number of correct answers; i.e., there is neither partial credit nor a penalty for wrong answers.

（與AMC不同的是，這里錯誤答案不會扣分，而且每題的答案還有一個固定的范圍，所以不管怎么樣每題都要猜個最有可能的答案。）

2. No aids other than scratch paper, graph paper, ruler, compass and protractor are permitted. In particular, calculators and computers are not permitted.

（非常有趣的是，尺、圓規(guī)、量角器都是可以攜帶的！這說明作圖可以做到100%精確，因此AIME從來不出可以直接精確作圖量出來的題【即答案簡潔，利用簡單全等、相似可以算出的題】，這也是幾何方面對我們中國學生最大的困擾。）

二、為了方便閱卷，每題的答案都限定在[0,999]這個范圍內(nèi)，且都是整數(shù)。然而，實際上很多問題的直接結(jié)果都并不是整數(shù)或不在范圍內(nèi)。這時候命題人會對其進行一些小“包裝”，讓其變成滿足條件的答案。例如：

當答案大于1000時，所求的變成了“答案除以1000的余數(shù)”；

當答案為分數(shù)時，所求的變成了“答案表示成最簡分數(shù)時為m/n，那么m+n的值為多少”；

當答案為無理數(shù)時，所求的變成了“答案寫成m根號n時，n不含平方因子時，m+n的值為多少”。

總而言之，很重要的一點是：看清題目要求。審題！審題！審題！答案是a/b，求的可能是a+b，也可能是a，也可能是ab等等。當我們辛苦地完成了一題的計算后，最后寫成題目要求的形式一定不能疏忽。

三、解題策略非常非常非常重要。首先我們要知道，通常情況下第1~5題比較簡單（相對后面的題），第6~10題難度中等（偶爾會有一兩題比較有難度），第11~15題才是真正有區(qū)分度的。

對于我自己（可能是大部分同齡競賽生）來說，AIME的代數(shù)比起初中競賽來都較為簡單。美國不是非常重視代數(shù)，在近十年的AIME中，除了 整式變形、應用題、等差等比數(shù)列、對數(shù)、復數(shù)、二次函數(shù)/方程 ，其它知識沒有任何存在感。困難的題目都是代數(shù)與其它知識結(jié)合的（幾何極值，組合遞推等等）。純代數(shù)題大部分都出現(xiàn)于1~10（一般只有2~3題），計算量可能稍大一些，但都是非常常規(guī)的題型。這些題目可以多花時間，要盡量拿下。舉幾個例子：

這是2017 AIME II 的第6題。直接配方或者不等式防縮都可以，熟練的一分鐘就可以搞定。

這是2017 AIME II的第7題。此題難度相比上一題稍微大一些，然而只是一個二次方程（log可以丟掉）根的分布（要使log有意義）而已。即使算兩遍，至多5分鐘也可以完成了。

這是2018 AIME I的第6題。注意一個常用套路：|z|=1等價于z=sina+icosa，隨后由條件可得sin720a-sin120a=0，和差化積可以得到兩個額三角函數(shù)之積為0，進而得到答案。

這是2016 AIME II的第15題。放在最后一題的位置，這題難度卻并不高。我們發(fā)現(xiàn)，只要把左邊的x(i)*x(j)變成x(i)^2，那么這就變成關(guān)于x(i)^2與(1-a(i))的式子了。而a(i)之和又是固定的，很容易發(fā)現(xiàn)用柯西不等式。（當然，放在15題屬于心理戰(zhàn)術(shù)了，只有少部分考生發(fā)現(xiàn)這題其實很簡單……在AoPS上遭到無數(shù)考生吐槽。）

然而，中國學生的福音是代數(shù)，AIME偏偏不出代數(shù)，而出造福美國學生的東西——幾何。

一般，1~5題中的幾何比較簡單；6~10題中的幾何對我來說就已經(jīng)略為困難了。11~15題更是直接放棄。1~10幾何題的特點是：計算量大。一般都是以斯圖爾特定理、托勒密定理、正弦余弦定理為主，建議大家仔細算算。11~15必定會出的很困難。

這是2016 AIME II第10題，雖然我模擬考試的時候沒有完成，現(xiàn)在回頭看真心不難，不要被嚇壞。這種題目沒有什么捷徑，利用相交弦定理老老實實一條條設(shè)出來（多聯(lián)幾條線），最后找到一個四邊形用一下托勒密。

這是2018 AIME I 第4題，我模擬考試的時候沒像網(wǎng)友想那么多，簡單粗暴地用余弦算，用時也不算長。兩三角形共角的情況都可以用余弦bash。

這是2018 AIME I 第8題。前面提到考試可以帶圓規(guī)和直尺，所以“小聰明”的方法就是標準作個圖，找一下哪兩條邊之間距離最短，再算一算就可以啦！其實今年這題出得可以說是非常有良心了，像某類小奧題。

組合、數(shù)論方面不像幾何、代數(shù)那么固定，每年難度差距很大。這里數(shù)論題出的非常少，所以我們關(guān)注組合題。它有一個非常厲害的套路（因為必定都是計數(shù)題）：枚舉！3小時的時間解15道題，放棄了4~5道題后至少也能花個20分鐘枚舉出一道組合題。要關(guān)心的是期望值，它對中國學生比較生僻。算期望值一般用列表法比較方便。AIME中很多組合題也需要用遞推，所以做組合題主要策略就是先找遞推，不行再枚舉。

為什么枚舉那么重要？看一位AoPS網(wǎng)友的親身體驗：

On the AIME I this year, I solved 9 problems (1-8 & 11), but should've scored higher. You see, I had already these 9 problems solved after 1.5 hours, and spent another hour (saving the last 30 minutes for checking my work) jumping around the rest of the non-geo problems (9, 10, 12, 14) without getting any progress. I was expecting a 12, but due to my inability to do anything during that hour, I didn't even come close.

I wouldn't say that I was bad at combo; I simply just kept using the wrong approach to solving the problems for some reason. After the test, I noticed how easy those 4 problems I missed actually were, and managed to solve them (10 & 14 in particular could be solved by the method of tables, while I wasted time trying out simple recursion). 

綜上，我們的答題策略是：先完成1~5，再撿6~

15中的軟柿子——即代數(shù)題（或你擅長的領(lǐng)域），再花時間bash一下6~15中的幾何題。再找一些組合題做（這里可能很耗時），最后一定要留30分鐘驗算一下答案。驗算很重要！很重要！很重要！我做一套Mock AIME的時候#1~#5沒有驗算，于是就錯了兩題……

說了那么多，檢驗效果的時間到了！歡迎大家嘗試——2018 Spring Mock AIME?。ㄟ@次終于從word變成latex了，驚不驚喜~）