今天我們有幸請(qǐng)到了犀牛數(shù)學(xué)競(jìng)賽高級(jí)教師——張凡老師，和大家分享 STEP 3 中的數(shù)論問(wèn)題該如何作答，一起來(lái)看看吧！

數(shù)論部分雖然不是 STEP 3 所考察的重點(diǎn)內(nèi)容，但依舊不容忽視。原因是它的考察頻率并不算特別的低，并且一旦考生重視這塊內(nèi)容，數(shù)論題就是送分題，而一旦忽視那數(shù)論題就是許多考生眼中的難題。

自 2010 年以來(lái)，STEP 3一共考過(guò)四道數(shù)論題目，分別是：2022 年第二題，2016 年第五題，2013 年第五題，以及 2012 年第八題。與其他板塊不同的是，數(shù)論題目考察的題型往往具有十分深刻的數(shù)學(xué)背景。而具有這一特點(diǎn)，意味著數(shù)論的題目會(huì)比較容易預(yù)測(cè)容易掌握?？忌鷤冎恍枰凑绽蠋煹闹笇?dǎo)，把高中階段所要求掌握的具有深刻數(shù)學(xué)意義的數(shù)論內(nèi)容一一搞懂，那么 STEP 3 當(dāng)中的數(shù)論試題將變得格外簡(jiǎn)單。

這道題對(duì)于沒(méi)有系統(tǒng)學(xué)過(guò)數(shù)論的學(xué)生而言乍一看很難，有些同學(xué)只看到題目的表面幾乎就打了退堂鼓。然而實(shí)際上這是一道非常簡(jiǎn)單的題目。

它的整個(gè)過(guò)程是對(duì)數(shù)論中常見(jiàn)方法無(wú)窮遞降法的簡(jiǎn)單應(yīng)用。無(wú)窮遞降法是由數(shù)論公理之中的最小數(shù)存在原理推導(dǎo)得出的一種實(shí)用方法。所謂最小數(shù)存在原理就是說(shuō)正整數(shù)集的非空子集必存在最小數(shù)。那么如果某個(gè)正整數(shù)集的子集不存在最小數(shù)，該子集一定為空集。無(wú)窮遞降法就是應(yīng)用這一原理來(lái)證明問(wèn)題無(wú)解。

知道這一原理并進(jìn)行過(guò)對(duì)應(yīng)訓(xùn)練的同學(xué)只需要對(duì)本題進(jìn)行非常簡(jiǎn)單的奇偶性討論就可以在五分鐘內(nèi)做完這道題。

這道題的數(shù)學(xué)背景則更加耳熟能詳，是簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單的第二數(shù)學(xué)歸納法。

數(shù)學(xué)歸納法在數(shù)論的系統(tǒng)教學(xué)中被作為公理直接給出。前兩問(wèn)只需要進(jìn)行簡(jiǎn)單的整除分析作為數(shù)學(xué)歸納法的起始條件，后面的三四兩問(wèn)其實(shí)就是數(shù)學(xué)歸納法的遞推過(guò)程。

整道題目與其說(shuō)是在考試倒不如說(shuō)是在教學(xué)。

2013 年第五題考察的是 BEZOUT 定理與反證法的綜合應(yīng)用。

這道題的最后一問(wèn)用最簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)給出了一個(gè)同樣簡(jiǎn)單但深刻的結(jié)論：如果 r 是正有理數(shù)，并且 r 的 r 次方也是正有理數(shù)，那么 r 一定是正整數(shù)。

2012年第八題考察斐波那契數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用。

具體的性質(zhì)在問(wèn)題中給出，對(duì)于學(xué)競(jìng)賽的同學(xué)來(lái)說(shuō)考察的是常見(jiàn)性質(zhì)。最后一問(wèn)則是一道數(shù)列類(lèi)型的題目。本題屬于數(shù)論與數(shù)列的綜合題。

我們對(duì)比一下全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽的考試大綱：

不難發(fā)現(xiàn)，考察的內(nèi)容基本出現(xiàn)在考綱當(dāng)中。考綱里有一些STEP 3內(nèi)從來(lái)沒(méi)有考察過(guò)的內(nèi)容。但是我們不能下結(jié)論說(shuō) STEP 3 不考察沒(méi)有出現(xiàn)過(guò)的內(nèi)容。因?yàn)?nbsp;STEP 3 考察數(shù)論的邏輯就是要考察深刻的、具有很強(qiáng)數(shù)學(xué)背景的內(nèi)容。而且幾乎沒(méi)有任何拓展，就是對(duì)方法本身的最基本的理解。而聯(lián)賽考綱幾乎囊括了所有具有深刻數(shù)學(xué)意義的數(shù)論內(nèi)容。

對(duì)于 STEP 3 中的數(shù)論題目，我認(rèn)為考生只要對(duì)聯(lián)賽考綱當(dāng)中的每一塊內(nèi)容有最基本的了解，做過(guò)一兩道對(duì)應(yīng)的習(xí)題，那么 STEP 3 考試當(dāng)中的數(shù)論題目很可能成為你的送分題。因?yàn)楦咧须A段具有深刻數(shù)學(xué)意義的數(shù)論題目本身范圍就是局限的，很容易全部掌握。而對(duì)于沒(méi)有系統(tǒng)學(xué)過(guò)數(shù)論的同學(xué)來(lái)說(shuō)，挑戰(zhàn)這樣的題目意味著在短時(shí)間內(nèi)掌握一種新的方法乃至思想，對(duì)于考試而言是非常不劃算的。

 

— 張凡老師 —

犀牛國(guó)際教育 數(shù)學(xué)競(jìng)賽高級(jí)教師

 

— 個(gè)人經(jīng)歷 —

 

，天文系專(zhuān)業(yè)。北京大學(xué)物理學(xué)院● 畢業(yè)于

。北方六省35名，河北省第八名高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽選手，● 

，教學(xué)功底扎實(shí)，對(duì)于國(guó)際競(jìng)賽和國(guó)際課程有豐富的授課經(jīng)驗(yàn)。深入了解國(guó)際課程體系● 

● 多年國(guó)際數(shù)學(xué)課程的授課經(jīng)驗(yàn)，小初高數(shù)學(xué)競(jìng)賽，國(guó)學(xué)，以及用數(shù)分線代概統(tǒng)解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題。

 

— 教學(xué)方法 —

 

。實(shí)現(xiàn)思維能力的提升，單點(diǎn)爆破，然后用高難度高強(qiáng)度的問(wèn)題逐一搭建學(xué)科主干為學(xué)生扎實(shí)的推理和嚴(yán)密的邏輯的基礎(chǔ)上用闡述公理在● 

 

— 教學(xué)成果 —

 

的成績(jī)。第一名多次在高中常規(guī)數(shù)學(xué)的教學(xué)中拿到● 

。省隊(duì)水平在綿陽(yáng)東辰擔(dān)任數(shù)學(xué)競(jìng)賽教練，教數(shù)論和組合兩大板塊，多名學(xué)生在高一時(shí)已經(jīng)達(dá)到● 

— 教授科目 —

 

● 數(shù)學(xué)競(jìng)賽 AMC10 、AMC12、AIME、STEP、HMMT、DMM、HIMCM、丘成桐

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